Magnetfeld von Flachspulen

Physik

Theoretische Betrachtungen zur angewandten Elektrodynamik

Berechnung der Magnetfelder von Spulen

Feldverteilung einer Flachspule

1. Das Biot-Savart-Gesetz
Felder von beliebigen Spulenanordnungen lassen sich nur unter sehr einfachen Randbedingungen analytisch berechnen. In gewöhnlicher Literatur zur Experimentalphysik oder Theoretischer Physik (z.B. Demtröder, Pohl, etc.) gibt es meist die Aufgabe das Magnetfeld entlang der Mittelachse durch eine Ringspule zu berechnen. Solche Problemstellungen können mit dem Biot-Savart-Gestetzt durch Integration über alle Volumenelemente bzw. Linienelemente der jeweiligen Spule analytisch berechnet werden. Möchte man dagegen kompliziertere Spulenanordnungen (was scheinbar einfache Anordungen, die kein Gerade sind, auf jeden Fall erfüllen) muss man das Biot-Savart-Gesetz in numerischen Berechnungen verwenden.

(1.1)	(1.2)
Biotsavartgesetz bei bekanntem Stromdichtevektorfeld	Partielle Flussdichte bei homogener Stromdichteverteilung

Wie aus den beiden Formeln ersichtlich, trägt jeder Stromdichtevektor in einem Leiterelement zur Bildung der Magnetischen Flussdichtevektors an einem bestimmten Punkt r bei. In anderen Worten: Die Summe aller möglicher Kreuzprodukte der Stromdichte J mit den "gewichteten Absatndvektoren" bildet im Grenzfall bei unendlich viel Summationen den magnetischen Flussdichtevektor am Punkt r.

2. Die Spulenfunktion

Die Flachspule hat die Form einer archimedischen Spirale. Der Ortsvektor r´(f) läuft je nach Winkel f die Spirale ab. Mathematisch gilt also: Eine Umdrehung entspricht einem Bogenmaß von Bei einer Umdrehung ergibt sich daher die Funktion: Für einen festen Windungsabstand d substituiert man a:	Bewegungsvektor für archimedische Spirale
	Die Funktion der archime-dischen Spirale mit Windungsabstand d lautet:

3. Der Abstandvektor

Als Abstandvektor R* soll der Verbindungsvektor zwischen r und r' bezeichnet werden:

4. Partielles Linienelement und Kreuzprodukt

Das Linienelement berechnet sich wie folgt:


5. Berechnung des Abstandvektorbetrags		6. Darstellung des Integrals
Die einzelnen Komponenten des Integrals können nach der hergeleiteten Formel nur in der x-z-Ebene berechnet werden. Die y-Komponente verschwindet hier nicht, da der Draht wegen der spiralförmigen Wicklung nicht senkrecht zum Zeiger im Polarkoordinatensystem steht. Das bedeutet auch, dass die Tangentialvektoren der Spirale erst bei großen Radien die x-z-Ebene annähernd senkrecht schneiden.

Das Magnetfeld einer Flachspule kann entweder mit der Formel oben berechnet werden und je nach Anwendung von einer Rotationssymetrie um die z-Achse ausgegangen werden. Eine genaue Berechnung ist nur mit der Formel rechts möglich, die sich mit einem allgemeinen Ansatz ohne die Randbedingung y=0 herleiten lässt.

Numerische Berechnungen
Für Experimente, deren Funktion auf Induktion mit Flachspulen basiert, ist es hilfreich die Feldverteilung in Bz-Richtung genau zu analysieren. Bei weiteren numerischen Berechnungen ist es zunächst sinnvoll zu entscheiden, inwieweit bei der jeweiligen Spule von einer Rotationssymetrie um die z-Achse ausgegangen werden werden kann. Für einen ersten Eindruck kann man die Bz-Verteilung in der xz-Ebene mit der in der yz-Ebene vergleichen. Folgende Diagramme zeigen die Feldverteilung für die im Projekt Metallverformung durch Kurzpulsmagnetfelder verwendete Flachspule FL1 bei einer Strombelastung von I=10kA.
	numerisch berechnete Bz-Verteilung der Fl1-Spule mit Simpson-Algorithmus in den Höhen z über der Spule bei einer konstanten Stromstärke von 10.000 A.

Je nach betrachteter Höhe z über der Spule ergibt sich eine andere Flussdichteverteilung in Bz-Richtung. Besonders interessant ist der gemeinsame Schnittpunkt der Funktionen bei einem Radius von ca. 6,4cm im Diagramm rechts.
Magnetischer Fluss einer Flachspule
Aus der Maxwellgleichung ergibt sich nach dem Satz von Stokes das Induktionsgesetz in allgemeiner Form: Für Experimente zur Magnetumformung ist es wichtig, die Spanungsinduktion durch die zeitvarianten Feldkomponen-ten der eingesetzen Flachspulen quantitativ zu analysieren. Da für die induzierten Umlaufspannungen virtuell erdachter Kreisringe, die parallel zur xy-Ebene ausgerichtet sind, nur die Bz-Feldkomponenten relevant sind, kann man schreiben: Hiermit kann also der Fluss durch Kreisflächen über der Flachspule berechnet werden.
	Magnetischer Fluss durch "virtuell erdachte Kreisringe" mit Radius 7,5cm über der Spule in Höhe z
Für Versuche bei denen Metalle während den Magnetpulsen von der Spule weg beschleunigt werden ist es von Bedeutung, eine quantitative Vorstellung davon zu bekommen, bei welchem Abstand wieviel Prozent des ursprünglichen Magnetischen Flusses noch das Metallblech durchdringen. Die magnetischen Flüsse (Einheit 1Weber=1Tesla*m^2) können nach der numerischen Berechnung in verschiedenen Höhen z über der Spule in einem Diagramm eingetragen und die Punkte durch eine e-Funktion interploliert werden. Somit steht z.B. für Simulationen eine Funktion Phi(z) zur Verfügung, um auch bei variablen Kreisflächenpositionen den magnetischen Fluss durch diese Flächen berechnen zu können.
	Magnetischer Fluss durch "virtuell erdachte Kreisringe" mit Radius 7,5cm über der Spule in Höhe z als prozentualer Anteil des Flusses bei z=5mm.

letzte Änderung 19.10.2009, 3.11.2010